Factorisation d’un Polynôme

sous forme de cours et d’un exemple de base

Théorème : Factorisation d’un polynôme

On peut mettre x – a en facteur dans un polynôme si est seulement si a est une racine du polynôme.

Etudions la fonction f ( x ) = x³ - 3 x - 2

Je cherche les racines évidentes : x = 2 est une racine évidente car f ( 2 ) = 2³ – 3 . 2² - 2 = 8 – 6 – 2 = 0

PS/ Une racine évidente est une solution comme -2, -1, 0, 1, 2

D’après le théorème annonce précédemment, on peut mettre x – a en facteur :

1 er méthode : Par identification

f ( x ) = ( x – 2 ) ( polynôme de degré 2 ) soit f ( x ) = ( x – 2 ) ( a x² + b x + c )

PS / A cette étape, le polynôme doit avoir tous ses termes positifs.

Développons : f ( x ) = ( x – 2 ) ( a x² + b x + c ) = a x³ + b x² + c x – 2 a x² - 2 b x – 2 c

f ( x ) = a x³ + ( b -2a ) x² + ( c – 2b ) x - 2c

{

a = 1 → a = 1

b -2a = 0 → b = 2

c – 2b = -3 → c = 1

- 2c = - 2 → vérification : c = 1

Nous retenons : f ( x ) = ( x – 2 ) ( x² + 2 x + 1 )

Etudions de nouveau la fonction f ( x ) = ( x – 2 ) ( x² + 2 x + 1 ) est essentiellement

f1 ( x ) = x² + 2 x + 1

Je cherche les racines évidentes : x = - 1 est une racine évidente car f1 ( - 1 ) = ( - 1 )² + 2 . ( - 1 ) + 1 = 0

Développons : f1 ( x ) = ( x + 1 ) ( a x + b ) = a x² + b x + a x + b = a x² + ( b + a ) x + b

{

a = 1 → a = 1

b + a = 2 → b = 1

b = 1 → vérification : b = 1

Nous retenons : f2 ( x ) = ( x + 1 ) ( x + 1 )

Conclusion : f ( x ) = ( x – 2 ) ( x + 1 ) ( x + 1 )